＜チューリング・パターン＞　　※『デザイン言語 Processing入門～』のサンプルを利用しています。

青い画面をクリックすると、緑の波紋が発生します。
時間が経つにつれて波紋は複雑になり、動物の表皮のような模様が現れます。
これはチューリングの反応拡散系の理論を、有限差分法により実現したものです。
反応拡散方程式は、反応方程式∂u/∂t=f(u)-Suと、拡散方程式∂u/∂t=D∂^2u/∂x^2を合わせた式になっています。

まず下のように、反応に関わる2種の物質濃度の関数u(x,y,t), v(x,y,t)の、時間変化量∂u/∂t,∂v/∂tを考えます。

本来、この式は時間的にも空間的にも連続ですが、計算の際は時刻と平面をを離散的な微小要素に分割します。
差分法で濃度変化量∂u/∂t,∂v/∂tを求めることで、各マスの次ステップのu, vを決定します。

では、各項の意味について考えてみましょう(Δvの式は省略)。まず拡散項について。
∂u/∂x,∂u/∂yが濃度勾配なので、それを更に微分したΔuは濃度勾配の変化量(周囲からの流入・流出)を意味します。


分解項は、uまたはvの量が多ければ多いほど、分解される量も多くなることを意味しています。
最後の項f, gは、uとvの反応を表す関数です。ここではa,bを定数として、f=-uv^2+a(1-u), g=uv^2-bvと置いています。

1ステップの計算が終了後、任意のマスにおいて、u＞vなら緑、u＜vなら青に近い色になります。


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